여러가지 테마

수학의 발전은 패러독스 덕분?

  고대부터 전해오는 여러 가지 역설(패러독스)은 수학과 어떤 관계가 있을까? 수학적 개념이 발전하면서 역설이 극복되고 이를 통해 수학이론이 발전한다.
몇 년 전 미국의 한 컬럼니스트가 이런 퍼즐을 냈다. "백만장자 몬티가 3개의 문 뒤쪽에 하는 자동차, 나머지 두 개에는 염소를 놓고 친구에게 자동차가 있는 문을 선택하면 주겠다는 내기를 걸었다. 친구가 문 하나를 선택한 뒤 몬티는 염소가 있는 문 하나를 열어 보여주었다. 이런 상황에서는 선택한 문을 바꾸는 게 나을까? 아니면 고수하는 게 나을까?"
세 가지 가능성
  (1) 염소가 있는 문을 하나 열어보았으므로 확률은 반반씩 어느 문을 고르든 같다.
  (2) 문을 바꾸는 게 낫다.
  (3) 원래 문을 고수하는 게 낫다.
정답은 선택을 바꾸는 게 자동차를 탈 확률이 2배 높아진다.
내가 처음 선택한 문 뒤에 자동차가 있을 확률은 3분의 1이지만 염소가 있는 문을 열어 보고 나서 다른 문을 선택한다면 결국 두번의 문을 열어보는 셈이므로 확률이 두 배 높아진다.
이 문제가 신문에 실리자 한 수학자가 즉각 반론에 나섰다.
(1)번과 (2)번 답을 놓고 확률ㆍ통계론자들끼리 1년이 넘는 논쟁이 일어났다. 실제 일어난 사건을 조건으로 삼는 조건부 확률에 대한 착각 때문이다. 조건부 확률은 재판에도 결정적이다. 유명한 OJ 심슨의 무죄판결이 그렇다. 아내의 피살현장에서 채취된 DNA는 심슨의 것과 일치했다. 통상 DNA 분석결과가 우연히 일치할 확률은 1만분의 1. 검사측은 심슨이 99.99%의 확률로 살인자라고 결론을 내렸다. 반면 변호사측은 로스앤젤레스 인근의 인구 300만명 중 300명이 같은 DNA를 공유하므로 심슨이 살인자라는 결론은 99.7%의 확률로 오판이라고 주장했다. (300명 중 한명이기 때문에) 결국 재판부는 변호사측의 손을 들어 주었다.
기원전 6세기 그리스의 철학자 유불리데스가 고안한 거짓말쟁이 역설은 2,500년이 지나 불완전성 정리로 정리됐다. "모든 크레타인은 거짓말쟁이이다."라는 패러독스인데 이 말이 사실이라면 크레타인이었던 그는 거짓말을 하는 것이고, 거짓이라면 그는 진실을 말하고 있는 것이다. 1931년 미국의 수학자 괴델(1906-1978)은 거짓말쟁이 역설에서 착안해서 "어떤 크레타인은 거짓말쟁이다." 즉 "크레타인이 거짓말을 할 수도 있고 안 할 수도 있다."는 뜻에 불과하다.
또 다른 퍼즐.
"한 호텔에 3명의 손님이 20만원씩 내서 60만원짜리 방에 묵었다. 나중에 지배인은 5만원을 돌려주도록 했다. 호텔 종업원은 5만원을 3등분하기 쉽지 않다는 것을 알아차리고 2만원을 자기 주머니에 넣은 뒤 1만원씩 돌려주었다. 돌아오면서 종업원은 고민에 빠졌다. 3사람이 19만원씩 57만원, 자기 주머니에 2만원이 있으니 1만원은 어디로 간 걸까?" 이 문제도 57만원에서 종업원이 챙긴 2만원을 빼서 방 값 55만원이 나오는 지당한 결론을 60만원에 연결시킴으로써 착각을 유도한 것이다.
과학기술원 수학과의 한상근교수는 "역설은 수학자들도 혼란에 빠질 정도로 어렵다. 오랜 수학적 논쟁을 하기도 한다. 그러나 이를 계기로 수학이론이 정립되고 발전하는 셈"이라고 말했다.
발췌 : 한국일보 - 김희원기자 hee@hk.co.kr-