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"복소수 사이에서는 왜 대소를 비교할 수 없을까?"
많은 학생들이 고민하는 궁금증이죠.
복소수 사이에서는
대소의 순서를 생각할 수 없다라는 것은 정확한 의미 전달이 된
것은 아닙니다. 실지로 우리는 고등학교 수학||의 복소평면에서는
좌표평면위에 복소수를 하나의 점으로 대응 시킬 수 있습니다.
여기에서 대소를 비교할 수 없다는 이야기는
여러분들이 알고
있는 부등식의 기본성질 4가지(테마수학의 46번째 이야기를 참고하세요.)를 만족하는 대소의 순서를
생각할 수 없다는 의미인 것입니다.
다시 말해서 기본성질
(1)의 "두 개의 실수"를 "두 개의 복소수"로
바꾸고 그 4가지 모든 문자를 일반적으로 복소수라 했을 때, 이
성질을 모두 만족하는 대소의 순서를 복소수 사이에 정의할 수 없다는
것입니다.
그 이유는 다음과 같습니다.
만일 복소수 사이에서
기본성질 (1), (2), (3), (4)를 만족하는 순서를 정의한다고 하면
양수의 기본성질처럼 임의의 0이 아닌 복소수 a에 대해서도 a²>0이라
해야만 합니다. 그러나 허수단위 i를 생각하면 i²= -1 < 0 이
되어 모순이 되죠. 따라서 복소수 사이에서는 기본성질 4가지를
만족하는 대소의 순서는 정의할 수 없는 것입니다.
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