수 의 역사(3) 

 제논의 역설과 실수의 연속성

앞서 살펴본 테마수학의 수의 역사 (1), 수의 역사(2)에 이어 실수의 연속성에 관한 내용을 알아본다. 실수의 연속성은 우리가 일상적으로 느낄 수 있는 흥미있는 문제이다.
지금부터 무려 2300년 전의 제논은 4가지의 역설을 제기 했는데 여기서는 '날으는 화살은 날지 않는다.'라는 역설만 생각해 보기로 하자.
제논은 다음과 같이 말한다.

이 것을 두고 역설이라 표현한 것은 화살은 실제로 날고 있기 때문이다. 우리가 수학에서 화살의 운동을 조사할 때에는 항상 시간을 t로, 진행된 거리를 x로 하여 x=f(t)라는 함수로 표현하고 이하ㅏㅁ수를 연구하고 있다. 이러한 방법으로 화살의 운동을 묘사해도 상관없다는 것은 수학의 입장에서는 제논의 역설을 부정할 수 있다는 것을 의미한다.
실제로 우리는 제논의 역설은 성립되지 않는다고 말할 수 있다. 그 근거는 실수의 연속성에서 비롯된다. 실수의 연속성은 제논의 역설을 뒤엎을 수 있을 만큼 시공의 연속성을 확실히 표현하고 있다.
그럼, 실수의 연속성을 가정하고, 이에 따라 제논의 역설이 옳지 않음르 밝혀 보기로 하자. 우선 제논의 역설을 잘 살펴보면 '순간'이란 개념이 이 역설의 마디마다 나타나고 있음을 알 수 있다. 시간을 수직선으로 표시하고 순간은 어떤 점으로 생각하면 좋을 것이다. 카메라맨은 동물의 생티를 사실적으로 찍기 위해 셔터를 누를 어떤 순간을 기다린다. 셔터를 누를 순간이 다가옴에 따라 시간은 수직선 위의 점으로, 예컨대

  1 , 1.4 , 1.41 , 1.414 , 1.4142 , ........

처럼 시시각각 '순간'을 향해 다가갈 것이다 카메라맨이 '지금이야말로 셔터를 누를 순간이다.'라고 생각했을 때, 시간은 위 계열의 끝으로서 수직선의 점 1.41421356....에 도달할 것이다. 이러한 순간이 존재한다는 것이 바로 실수의 연속성이라 할 수 있다.
제논이 별 거리낌 없이 '어느 한 순간을 생각해 보자.'라고 말한 부분을 수의 세계에서 표현하기 위해서는 이와 같이 실수의 연속성이 필요한 것이다. '순간'을 과거와 미래를 구분하는 점이라고 간주할 때, 연속성의 보증이 없으면 이 분할점은 의미를 잃어 버리고 만다.
우리는 순간이란 개념이 실수의 ��속성과 아주 깊게 결부되어 있음을 알았다. 그렇다고 우리가 제논의 역설을 완전히 뒤엎은 것은 아니다. 제논의 역설을 타파하는 열쇠는 역설 속에 서술되어 있는 '다음 순간'에 있다. 과연 제논이 말하는 '다음 순간'은 존재하는 것일까?
 어느 순간이든 임의의 순간을 생각해 보자. 위의 예를 인용해 이 순간은 수직선 위의 점으로서
  a=1.41421356....
으로 표시되었다고 하자. 제논의 역설을 성립시키기 위해서 a 의 다음 순간은

(1)a보다 크다.

(2)a와 다음 순간 사이에 다른 수는 없다.

를 만족해야 한다.
그러면 a에 대해 (1), (2)를 만족하는 수가 있는지 살펴보도록 하자. (1)을 만족하는 즉 a 보다 큰 수 1.5를 취해보더라도 (2)를 �ㅀ蔗쳔걍� 않는다. 따라서 다음에 1.42를 취해보아도 a보다 크긴 하나 역시 (2)를 만족하지 않는다. 그래서 1.415를 취해본다. 이와 같은 시행착오를 반복하면서 (1), (2)를 만족하는 수를 얻으려고 시도하면 다음과 같은 수 계열을 얻을 수 있을 것이다.
1.5 , 1.42 , 1.415 , 1.4143 , 1.41422, 1.414214 , 1.4142136 , ...
이 계열에서 궁극적으로 나타나는 수는 분명히 a 자체라는 것을 알게 된다. 즉 다음 순간은 존재하지 않는다. 따라서 제논의 역설은 성립하지 않는 것이다. 결국 날아가는 화살은 확실히 날고 있는 것이다. 이 이야기는 실수의 연속성이 어떠한 것인가를 분명하게 보여주고 있다.

[발췌]안재찬의 플러스 수학 -화인미디어-

(1999년 6월 20일 하창호)

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