부등식을 이해하자!

 우리나라의 교육과정에서 방정식단원에 이어 반드시 부등식단원이 소개되어 있다. 그 만큼 대수분야에서 중요하다는 인식을 같이 했기 때문이다. 방정식에서 모든 이차식이 근을 갖기 위해 수의 범위를 확장시켜 복소수의 큰 세계를 생각해 내었다. 물론 복소수는 '복소평면'에서는 좀 더 당당한 실재감이 있는 수로도 등장하고 있다. 그러나 우리는 위와 같은 특별한 경우를 제외하고는 원칙적으로 수라하면 그것은 실수의 범위에서 생각하고 있다.

특히, 부등호 > , < , ≥  , ≤ 의 양쪽에 나타나는 수는 반드시 실수라고 약속을 해야 한다. 왜냐하면 대소관계 비교는 실수의 범위에서만 가능하기 때문이다. 따라서, 복소수의 범위에서도 부등식과 관련된 내용이 나오면 그 양변의 수는 실수이어야 한다.
부등식을 이해하기 위해서는 그와 관계된 성질을 살펴보아야 한다.

부등식의 기본성질

a가 b보다 크면 a는 b의 오른쪽에, 양수는 원점보다 오른쪽의 점, 음수는 원점보다 왼쪽의 점으로 수직선위에 표시되고 두 개의 양수의 합과 곱은 양수이고 양수와 음수의 곱은 음수인 것을 이미 알고 있는 사실이다.그러면 부등식의 가장 기본적인 성질은 무엇일까?
오늘날 수학에 있어서 원칙으로 많이 쓰여지는 수법은 몇 개의 사항을 '공리'로 인정하고 그것에서 모든 것을 이끌어 내는 '공리적인 수법'이다. '공리적인 수법'으로 무엇인가를 증명하려면 '그 증명의 근본이 무엇일까?', '그 근본을 이루고 있는 것은 또 무엇일까?'와 같이 점점 기초로 거슬러 올라가 가장 기초라고 생각되는 것에 이르렀을 때, 그것을 '공리'라고 부른다.
그리고 그것 이외의 것은 모두 '공리'에서 엄밀한 추론을 거듭함에 따라 차례차례로 이끌어가는 수법인데, 이것은 수학 전반에 공통된 기본적인 증명방법이다.
그러면 부등식의 공리는 무엇일까?
다음의 네가지 성질은 증명없이 인정하고 있다.
 

 이 기본성질을 부등식의 공리로 채택하기로 하고 이것을 근본으로 하여 부등식의 다른 여러 가지 성질을 생각해 보기로 한다. 그리고 우리가 일상적으로 사용하는 부등식의 성질은 모두 이 기본성질에서 유도된다.
우리가 사용하는 부등식의 성질을 모두 열거하는 것은 곤란하기 때문에 우리가 평소에 당연하게 이용하고 있는 부등식의 성질이 모두 이 기본성질에서 유도된다는 것을 보이는데 주안을 두고자 한다.
 

성질 (3)에 의하여 a>b+c일 때 양변에 -b를 더하면 a-b>c이고, 역으로 a-b>c일 때 양변에 b를 더하면 a>b+c이다. 위의 (5)에 의하면 부등식에서도 어떤 항의 부호를 바꾸어 다른 변으로 옮길 수가 있다. 즉, 부등식에 있어서도 이항의 법칙이 성립한다.
 

(5)에 있어서 특히 c=0이라 하면 이 결론이 얻어진다.
 

성질 (3)에 의하여 a<0의 양변에 -a를 더하면 0<-a이 되고 역으로 0<-a의 양변에 a를 더하면 a<0이 된다.
 

(6)에 의하여 -a>-b ⇔ (-a)-(-b)>0
                             ⇔ b-a>0 ⇔ b>a
 

b>0이므로 a>0의 양변에 b를 곱하면 성질 (4)에 의하여 ab>0×b=0 , 즉 ab>0이 된다.
 

c<0이므로 (7)에 의하여 -c>0이고, a>b의 양변에 -c를 곱하면 성질 (4)에 의하여 a(-c)>b(-c), 즉 -ac>-bc가 된다. 그러므로 (8)에 의하여 ac<bc가 성립한다.
 

a<0의 양변에 b를 곱하고, (10)을 이용하면 b<0이므로 ab>0×b=0이 된다.
위의 (9), (11)에 의하면 a>0, a<0은 모두 a²>0임을 알 수 있다. 특히 1=1²이므로 1>0이다.

지금까지 알아본 부등식의 기본성질 (1), (2), (3), (4)를 부등식의 '공리'로 채택하고 부등식의 다른 여러 성질을 거기에서 유도했다. 그런데 우리는 여러 기본성질 중에서 특히 '양수'와 관련된 것을 주목할 필요가 있다.

기본성질 (1)에 의하면, 임의의 실수 a, b에 대해서 a>b, a=b, a<b인 세 개의 관계 중 한 개만이 성립하므로 특히 b=0이라 하면 임의의 실수 a에 대해서
a>0, a=0, a<0
라는 세 개의 관계 중 한 가지만이 성립한다. 그리고 성질 (7)에 따르면 a<0은 -a>0인 것과 동치이다. 그러므로 지금 부등호를 사용하는 대신에 a>0인 것을 "a는 양이다."라는 말로서 설명하기로 하면 위의 것은 다음과 같이 표현된다.

 

또한 성질 (9)와 앞에서 정리하지는 않았지만 a>0의 양변에 b를 더하여 성질 (3)을 이용하면 a+b>b가 되는데 b>0에서 성질 (2)를 이용하면 결과적으로 a>0, b>0이면 a+b>0임을 알 수 있다. 이 성질을 이용하면 아래와 같이 표현될 수 있다.
 

위의 양수에 관한 기본성질 ⓐ, ⓑ에 대하여, 하나의 특징적인 것은 이 성질에는 '양수'라는 개념이 이용되고 있을 뿐이고, 부등식이라는 것은 전혀 모습을 나타내지 않는다. 이것은 주의할 만하다. 특히 '공리'의 형태에 흥미를 갖는 사람들에게는 중요하다.

우리가 현재 다시 받아들여야 할 이 기본성질 ⓐ, ⓑ를 부등식으 '새로운 공리'로 승인하면 처음 언급한 기본성질 (1), (2), (3), (4)는 여기에서 '정리'로서 유도될 수 있다. 따라서, ⓐ, ⓑ를 기준으로 하여 적당한 방식에 따라 부등식을 정의해 놓으면 기본성질 (6)에서 a>b라는 것은 "a-b가 양수이다."라는 것으로 정의할 수 있다. 이 정의에 의하여 a>b라는 것은 "a가 양수이다."라는 것과 같아지게 된다.

a>b라는 관계를 정했을 때, 기본성질 (1), (2), (3), (4)가 모두 유도되는데 첫번째 기본 성질 (1)을 참고로 하여 증명해 보자.
 

"복소수 사이에는 대소를 생각할 수 없다."

복소수 사이에서는 왜 대소를 생각할 수 없을까?

(1999년 6월 14일 하창호)

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