수의 탄생(2) 

 자연수

수학시간에 '아무리 큰 자연수 n을 잡아도'라는 말을 흔히 들었을 것이다. 그 때는 사실 어떤 저항감도 느끼지 않았을 것이다. 우리가 수를 단지 손꼽아 세거나 고대 그리스인처럼 선분으로 표시하려는 생각을 고집했더라면 우리의 머리속에 있는 '무한'을 향한 의식을 이와 같은 확실한 형태로 뽑아내는 것은 어려웠을지도 모른다.
우리는 수를 반복해 더함으로써 얼마든지 큰 수를 만들어 갈 수 있다. 실제로 자연수는 1에서 출발해 계속 1을 더하는 연산을 반복함으로 계속 생성된다. 이와 같이 자연수는 수가 생성되는 '길'을 나타내고 있다고도 할 수 있을 것이다.
지금까지 명확히 말하지 않았으나 1, 2, 3, 4, 5, ...는 수학용어로서는 자연수의 집합 N을 나타낸다. 이것을 하나의 집합으로 간주할 때도 일반적으로 N={1, 2, 3, ..., n, ...}과 같이 쓰고 있다. 자연수의 집합 N이 1에서 출발하고 계속 1을 더함으로써 다음 수를 얻을 수 있다는 성질에 의해 생성된다면 이를 공리로 하여 자연수를 완전히 규정할 수 있을 것이다. 이러한 생각으로 자연수의 공리 체계를 도입한 사람이 19세기 말 이탈리아의 수학자 페아노였다. 그러면 페아노에 의한 자연수의 공리는 어떤 것인가 알아보기로 한다.

자연수의 집합 N은 이 공리에서 알 수 있듯이 1에서 시작해 계속 연결해가는 징검다리와도 같다. 이 징검다리를 하나씩 하나씩 건너가면 자연수는 서서히 우리 앞에 모습을 드러내게 될 것이다.
그런데 이와 같은 이야기를 계속해 나가기 위해서는 1 앞에 징검다리의 출발점이 되는 0을 두는 게 훨씬 좋다 따라서 이제부터는 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...를 생각해 본다.
그래서 지금 보폭이 5인 사람이 0에서 출발하여 5, 10, 15, ...로 징검다리를 뛰어간다고 해 보자. 이 사람이 213번 계속 더하면 되겠지만,
5+5+...+5(214번 5를 더한다)
너무 복잡하므로 이러한 경우에 수학은 '곱하기'란 새로운 연산을 도입해
5*213=1065
라고 계산하는 것이다.

이러한 방법으로 곱하기를 도입하면 5*213=213 *5는 좌연산과 우연산의 결과가 같아 교환법칙이 성립함을 알 수 있다. 결국 페아노의 공리를 써서 더하기, 곱하기를 정의하고 나아가 수학적 귀납법을 이용하면서 한걸음 한걸음 증명하는 길을 걷게 된다.

자연수에서 2, 3, 5, 7, ...은 1과 그 수 자신으로만 나누어 떨어진다. 이런 수를 소수라고 한다. 자연수에서 4, 6, 8, 9, ...는 1과 그 수 자신 이외에 다른 수로도 나누어 떨어진다. 이런 수를 합성수라고 한다. 1은 소수도 아니고 합성수도 아니다. 그러면 자연수열에서 도대체 어느 수들이 소수인가? 기원전 300여년에 그리스이 학자 에라토스테네스(Eratosthenes)가 소수를 찾아 내는 방법을 고안해 놓았다. 그는 종이에다 자연수열의 수들을 써서 궤짝에다 붙여놓고 합성수들을 모조리 도려내였다. 이러니 종이는 작은 구멍이 송송 나서 마치 모든 합성수가 체에서 빠지고 소수만 남은 것처럼 되었다. 이렇게 얻은 표를 '에라토스테네스의 체'라고 한다.
그러면 에라토스테네스는 어떤 방법으로 체질을 하였을까? 예를 들어 50개의 자연수를 써 놓고 먼저 1을 그어 버렸다.
1을 소수로 간주하지 않는 이유는 1을 소수로 취급했을 때, 가령
6=2*3=1*2 *3=1*1 *2 *3=1*1 *1 *2*3=...
과 같이 되어 서로 다른 표현으로 소인수분해가 얼마든지 가능해진다. 그렇게 되면 소인수분해의 일의성을 보장할 수 없다. 그러니까 1을 소수로 인정하지 않는 이유는 소인수분해의 일의성과 관련이 있다. (일의성이란 유일성과 같은 의미로서 단 하나 존재함을 의미하는데, 즉 6을 예를 들면 6=2*3이나 6=3*2를 같은 경우로 보듯이 단 하나로 만 소인수분 해가 됨을 뜻한다.)
다음에는 2를 남기고 2의 배수를 모두 그어 버렸다. 그 다음에는 3을 남기고 3의 배수를 모두 그어 버렸다. 또 5를 남기고 5의 배수를 모두 그어 버렸다. 이와 같이 계속하여 50까지의 자연수를 써 놓고 소수를 체치기 해낼 수 있다.
그러면 에라토스테네스의 체치기 방법으로 모든 합성수를 그어 버릴 수 있을까? 즉, 소수의 개수를 모두 구할 수 있을까? 그런데 기원전 약 275년에 그리스의 유명한 수학자 유클리드는 교묘한 방법으로 소수의 개수가 무한하다는 것을 증명하였다.

실수

해석학을 떠받치고 있는 세계는 자연수와 같이 한발짝 한발짝 걸어가는 듯한 이산적 세계와는 다른 연속적 세계이다. 우리의 눈앞에서 전개되는 많은 자연 현상은 시간의 흐름과 함께 연속적으로 변화해 가는 모습을 보여주고 있다. 우리는 이제 이러한 연속적인 모습을 수학 속에서 실현하고 있는 수의 체계, 실수를 생각해 본다.
'실수란 무엇인가?'라는 질문을 받고 당황하는 사람들도 실수란 수직선 위에 표시되어 있는 수를 가리킨다고 하면 금방 이해가 갈 것이다.
수직선이란 직선 위에 0을 표시하는 점 O와 일반적으로 그 오른쪽에 1을 표시하는 점 E를 잡고, E를 기준으로 직선 위의 각 점에 실수 눈금을 대응시킨 직선을 말한다. 실수란 무엇인가라는 질문은 수학 역사에서는 19세기 후반에 데디킨트, 칸토어, 바이어슈트라우스 등에 의해 제기된 정의로 해결할 수 있다. 즉, 실수는 유한소수 또는 무한소수로 표시되는 수이다. 수직선 위의 점이나 실수가 유한소수나 분수로서 구체적으로 표시되어 있지 않다면 우리는 연속성에 의해서 비로소 그 존재를 확인하고 있는 셈이다. =1.41421356...이라 쓸 때, 궁극적인 점이 얻어진 다고 생각하는 것은 이 연속성 에 따른 것이다. 우리는 이처럼 수직선을 따라 깊이 걸어 들어감으로써 수직선의 연속성과 만나게 된다.

무리수란 '정수의 비로 나타낼 수 없는 수'를 말한다. 기원전 6세기경 피타고라스는 고향인 크로톤에 학교를 세우고 수학을 연구했다. 그 때 함께 모여 연구한 사람들을 일컬어 피타고라스학파라고 하는데, 그들은 우주는 수로 이루어져 있고 우주의 질서는 모두 정수의 비로 표현할 수 있다고 믿었다.
따라서, 그들은 선분은 일정한 크기를 가진 많은 점이 나란히 모여 있으며, 그 점의 수는 유한하고 헤아릴 수 있다고 생각하였다. 그들의 주장에 따른다면 선분의 길이의 비는 반드시 정수의 비로 되어 있어야 한다. 그런데 정사각형의 한 변과 대각선의 비는 정수가 아닌 무리수의 비로 이루어져 있다는 사실을 알아냈다. 이는 피타고라스학파의 존재 근거가 무너지는 큰 사건이었다. 현재 우리는 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 임을 잘 알고 있다 그리스인 들이 무리수를 수로 인정하지 않았지만 이미 '무리비'를 이해했고, 이 '비밀의 수'가 존재한다는 것을 증명할 수 있었던 것을 보면 수학의 수준이 상당했음을 알 수 있다.

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