| 수의
범위는 계속 확장되면서 현재의 수의 체계와 같은 모습으로 완성되기까지는
오랜 세월이 흘렀다. 그렇지만 우리는 몇 가지 간단한 대수방정식의
해법을 통해 그 복잡한 '수의 체계의 형성 과정'을 일목요연하게 스케치할
수 있다.
방정식 2X+5=17의 근(根)은 양의 정수 6이다. 방정식 3X+11=5의
해를 구할 때 일차적으로 문제가 발생한다. 사람에게 가장 친근한 수는
자연수(양의 정수)이다. 그래서 자연수의 범위를 벗어나면 어쩐지 정든
고향산천을 떠나 낯선 곳으로 온 느낌이 든다. 그러나 타향도 정이 들면
고향이라 했던가. 두번째 방정식의 근은 음수 -2이다. 눈 딱감고 -2도
일종의 수라고 받아들이자.
수학자들조차 오랫동안 음수의 정확한
위상을 제대로 파악하지 못했다. 지금까지도 음수의 성질은 수학 공부를
막 시작한 많은 학생들에게 어쩐지 낯설다. 음수 자체를 어렵게 생각하는
사람은 별로 없을 것이다. 영하 15도(또는 -15˚C)는 직감적으로 동시에
이지적으로도 아주 이해하기 쉽다. 그러나 음수에 음수를 곱하면 왜
양수가 되는 것일까?
답은 사전에 나와 있는 그대로이다. 두 음수의
곱은 양의 정수와 똑같은 산술 법칙에 따르기 때문에 양수라고 정의된다.
돈 문제를 한번 생각해보면 우리는 그 뜻을 금방 알 수 있다. 당신이
매주 국민 연금에서 $100를 받는데, 그 돈을 모두 침대 밑에 보관한다고
가정해 보자. 그러면 7주 후에 당신의 침대 밑에는 현재보다 $700(7×$100)
더 많은 돈이 있을 것이다. 반면에 5주 전에는 침대 밑에 현재보다 -$500(-5×$100)더
많은 돈이 있었을 것이다. 이제 쏜살같이 세월이 흘러 당신의 연금이
벌써 오래전에 끝났기 때문에 요즈음 당신은 침대 밑 돈단지에서 주단
$100씩을 곶감 빼먹듯 사용한다고 하자. 그렇다면 8주 후 당신의 침대
밑에는 현재보다 $800가 적은 (또는 8×-$100=-$800 많은)금액이 있을
것이고, 반면에 3주 전에는 당신의 침대 밑에는 현재보다 $300(-3×-$100=$300)이
더 많은 돈이 있었을 것이다.
그래서 우리는 수의 체계에 음의 정수를
첨가한다. 그러나 정수(양수와 음수가 0을 중심으로 통합된 수의 체계)는
방정식 5x-1=7의 근을 구하는데 충분하지 않다. 근 8/5은 분수(유리수)이다.
하지만 우리는 다시금 분수를 수로 쾌히 받아들여 수의 체계에 모든
분수를 첨가한다. 그러나 유리수조차 우리의 욕망을 충족시키지 못한다.
가령 방정식 x²-2=0 의 해는 2의 제곱근 즉  이다. 그런데 이 수는 유리수가 아니다. 방정식 4x³-7x+11=0의
근 역시 유리수가 아니다. 만일 수의 체계에 이들 모든 대수적 수와
여타의 무리수(즉 초월수)를 보태 하나로 통합하기만 하면, 마침내 우리는
모든 대수방정식의 근을 구할 수 있는가?(대수방정식은 계수가 모두
유리수로만 된 정방정식이다. 대수적 수는 임의의 대수방정식을 만족하는
수이다.)
수의 확장은 마침내 끝나는 것인가?
그러나 이제까지
우리가 확장해온 수의 범위에서조차 간단한 방정식 x²+1=0은 근을 가지지
못한다. 실수의 제곱은 항상 0보다 크거나 같으므로 방정식 x²=-1의
실수 근은 존재하지 않는다. 어쩌면 좋을까? 그리하여 우리는 새로기호
i를 고안하게 되고, 오일러와 알렘버트가 한 것처럼 i를
-1의 제곱근인  이라고
간단히 정의하게 된다. i²=-1이므로 우리는 방정식 x²=-1의 근 i를
구할 수 있다.
원래 숫자 i는 가상적 수라는 뜻을 가진 것으로 오늘날에도
허수 (imaginary number)라고 불린다. 하지만 수학의 추상성이 더욱
고도화 되면서 그런 수가 실재한다는 것은 이미 오래전에 밝혀졌다.
사실상 많은 다른 수학적 구조들도 따지고 보면 가상의 모래성 위에
구축된 것이다. 허수 역시 그 정도로만 가상적이지 여타 수학적 구조보다
특별히 더 가상적이거나 덜 가상적인 것이 결코 아니다. 허수는 크기
순서를 정할 수 없다. 그래서 허수는 무엇을 비교한다든지 측량하기에는
실제로 적합하지 않은 수이다. 하지만 허수는
실수와 동일한 산술법칙에 따르고 다양한 물리학 법칙이나 명제들을
놀라울 정도로 자연스럽게 만드는 위력을 가지고 있다. a+bi(a,
b는 실수) 형태를 가진 수의 집합은 실수를 부분계로 포함하는 '복소수계'를
구축한다. 두 복소수 3+5i 와 -2i의 합은 9+3i로 정의된다. 뺄셈도 이와
유사하게 정의된다. 반면에 곱셈과 나눗셈은 i²=-1이라는 사실을 이용한다. 이렇게 확장된 수의
체계가 주어지면, x²+1=0은 복소수 범위에서 근을 가진다. 뿐만 아니라,
복소수계 아래에서 우리는 마침내 "모든
대수방정식은 복소수 범위에서 근을 가진다."는 소위 대수학의
기본 정리(fundamental theorem
of algebra)도 증명할 수 있게 된다. 복소수 범위 안에서는 2차방정식(변수가
제곱인 방정식)은 2개의 근을, 3차방정식은 3개의 근을 , 4차방정식은
4개의 근을, 그리고 일반적인 N차(변수가 N제곱)의 다항 방정식은 반드시
N개의 근을 가진다.
비록 초개에 허수를 고안했던 사람들은 단지
형식적으로 그리고 자신의 연구에 도움이 되는 가벼운 도구 정도로 허수를
간주했지만, 곧 다른 사람들이 삼각함수와 지수함수의 정의역을 복소수
범위로까지 확장했다. 그리하여 그 확장을 용이하게 할 목적으로 해석학(미적분학,
미분방정식, 그리고 관련 분야)을 창출했다. 특히 허수를 지수로 갖는
수에 관심이 집중되었다. 그 결과 수학에서 가장 눈에 띄는 공식 가운데
하나인  을 탄생시켰다.
(e는
자연로그의 밑수)이 공식을
 꼴로 바꾸면, 하나의 방정식
속에 수학에서 자장 중요한 5가지 상수 가 모두 들어간다. 복소평면(x+yi에서 실수 x와 허수 yi로
이루어지는 좌표평면)에서의 다양한 연산에 관한 기하학적 해석 기법을
포함하여, 복소를 다루는 기술은 꾸준히 진보하였다. 그리고 이같은
기술적 진보는 전자기 이론과 같은 자연과학으로 이어져 이미 필요불가결한
수가 되어버린 복소를 인간과 더한층 친숙하게 만들었다. 또한 그 진보와
발달은 추상대수학의 발전을 자극했고, 특히 벡터해석학과 4원법(quaternious)
분야의 발전을 크게 촉진시켰다.
무수히 많은 참다운 진보가 가상의
실체를 적극적으로 사고하는 정신에서 나왔다고 할 때, 허수 i는 그
상상력의 위대한 힘을 생생히 증명하고 있다. 현실적 근거와 상상력이
빈곤하기 그지없는 무수한 유추를 통해(연역적인 방법으로) 정교한 이론
체계를 세워왔던 일부 신학자들은 이제부터 마음을 고쳐먹어야 할 것이다.
(1998년 9월 12일 하창호)
|