수학사관련 테마수학

토끼와 거북이 경주

우리들이 잘 알고 있는 토끼와 거북이 경주이야기가 있다.

하고 걸음이 빠른 토끼는 느림보인 거북을 놀려댔다. 그리하여 이 두 동물이 경주를 하게 되고 도중에 토끼가 낮잠을 잠으로써 있을 수 없는 패배를 맛보게 되었던 것이다. 낮잠만 자지 않았더라면 물론 토끼가 이긴다고는 할 수 없으며, 경기의 규칙 여하에 따라서는 영원히 토끼가 승리하지 못할지도 모를 일이라고 말하고 있다.

토끼는 거북이의 출발점보다 100m 뒤에서 출발을 한다. 그리고, 토끼와 거북이는 출발신호와 동시에 출발한다. 이러한 규칙아래에서 토끼의 속력은 매초 1m, 거북이의 속력은 매초 0.1m로 달린다고 가정한다.

이렇게 되면 토끼가 거북이의 뒤를 쫓아가는 셈인데, 토끼가 거북의 출발점까지 가려면 100초가 걸린다. 그런데, 그 100초 사이에 거북이도 역시 가고 있으므로 거북은 10미터 전방에 가있게 된다. 이 10미터를 토끼가 가는 동안에 거북은 또 1미터 전방까지 가게 된다. 이런 식으로 되풀이하면 토끼가 거북을 따라가는데 무한한 시간이 걸리게 된다. 그래서, 우리가 살아있는 동안에는 토끼의 승리를 볼 수 없게 된다.

더구나 토끼의 생명은 10년이나 20년 정도밖에 되지 않으므로 토끼가 살아있는 동안에는 도저히 거북을 따라 잡지 못한다. 또한 거북의 수명은 몇 백년이 되는것 같으므로 결국 장기전의 마지막 승리는 거북의 것으로 정해져 있다.

그런데, 실제로 경주를 시켜 보면 토끼가 승리하게 된다. 그건 어째서일까 ?

토끼가 거북의 본래의 위치에 올 때까지의 시간을 생각해 보면, 첫 번째는 A에서 B까지의 시간으로 100초, B에서 C까지의 시간으로 10초, C에서 D까지의 시간으로 1초, 다음은 0.1초… 등등. 이런식으로 시간이 점점 줄어든다.

이들 시간을 무수히 더하면 무한등비급수의 공식에서

이 된다.

즉, 단 1분51초 정도로 토끼가 거북을 제치게 된다. 토끼가 뇌출혈이라도 일으켜서 급사하지 않는 한 역시 거북쪽의 패배이다. 이것이 사실이다.

이러한 형의 무한등비급수의 계산을 '토끼와 거북의 계산'이라고 흔히 부른다.

(1998년 7월 8일 하창호)