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그리스 시대의 수학2 - 피타고라스 학파 -

탈레스를 중심으로 한 이오니아 학파는 합리적인 것만을 추구하였으나, 그 뒤 피타고라스를 중심으로 하는 그의 학파는 여기에 종교적인 신비주의를 첨가하였다. 피타고라스 Pythagoras (580?-500?B.C)의 생애는 신비에 싸여 있다. 이오니아의 사모스 섬에서 태어나, 탈레스의 권고를 따라 수학의 시야를 넓히기 위해 여러 해 동안 이집트와 메소포타미아에 유학한 뒤, 고향에 돌아와 종교색이 짙은 학교를 타미아에 유학한 뒤, 고향에 돌아와 종교색이 짙은 학교를 열었으나, 정치적인 박해 때문에 성공하지 못했다. 40세경에 다시 이탈리아 남부의 크로통에 학교를 세웠는데, 이는 영혼의 불멸을 논하는 일종의 종교 단체로서 의식을 거행하고, 그 제자들의 발견은 모두 피타고라스의 것으로 하고, 또 그 발견을 외부에 누설하지 못하게 했다. 이들의 세력이 커짐에 따라 정치적인 반대파 때문에 학교는 불태워졌고, 뒤에 피타고라스는 메타폰티온에서 죽었으나 그의 학파는 그리스의 여기저기에 흩어져서 약 200년간 활동하였다. 그들의 근본 철학은 "만물은 수이다."였기 때문에 수학을 중요시하였다.
이제 피타고라스 학파의 업적을 살펴보기로 하자.
정수론
피타고라스 학파의 학과는 음악, 천문, 기하학, 정수론이었다. 음악이 강조된 것은 고대인의 정신 생활의 한 특징이며, 또한 종교의 영향이라 생각한다. 피타고라스는 처음에 길이가 1인 현을 울려서 소리를 내고, 다음에 길이가 ⅔인 현을 울려서 소리를 내면, 처음의 소리보다 5도 높은 소리가 나고, 또 길이 ½인 현은 원래의 소리보다 8도 높은 소리가 남을 발견하여, 이들을 기초로 해서 음계를 만들었다. 이는 오늘날 피타고라스 음계로 알려져 있다. 이와 같은 사실에서 파타고라스는 자연계에서의 수의 역할을 중요시하여 "만물은 수이다."라 하고, 계산 기술이 아니, 수 자체의 성질을 연구하는 정수론(산술)을 연구했다. 그는 자연수의 성질 중 간단한 것, 아름다운 것, 조화가 잡힌 겋이라 생각되는 것에 이름을 붙였다. 예를 들면 홀수, 짝수, 소수, 서로 소인 수, 완전수, 과승수, 부족수, 친화수 등과 같은 것이다. 여기에서 완전수란, 자기 자신을 제외한 모든 약수의 합이 자기 자신과 같은 것이다. 또, 과잉수란, 자기 자신을 제외한 모든 약수의 합이 자기 자신보다 큰 수이며, 부족수란, 자기 자신을 제외한 모든 약수의 합이 자기 자신보다 작은 수이다. 예를 들면, 18<1+2+3+6+9>1+2+5 이므로 18은 과잉수이고 10은 부족수이다. 또, 친화수란, a가 b의 자기 자신을 제외한 모든 약수의 합이 되고, 또 b가 a의 자기 자신을 제외한 모든 약수의 합이 되는 한 쌍의 수 (a, b)를 가리키는 말이다. 예를 들면,
220=1+2+4+71+142 (282의 약수의 합)
284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 (220의 약수의 합) 이므로 220과 284는 친화수이다. 피타고라스 학파는 (220, 284) 단 한 쌍의 친화수만을 발견했을 뿐이나, 제2, 제 3의 쌍은 17세기에 페르마 Fermat와 데카르트 Descartes에 의하여 겨우 발견되었다. 18세기에는 오일러 Euler가 62번째의 쌍까지 발견하였다.
피타고라스 학파는 수를 도형과도 결부시켰다. 그 갯수만한 점을 써서 배열할 때, 1, 3, 6, 10, ...과 같이 정삼각형으로 배열할 수 있는 수들을 삼각수, 1, 4, 9, 16, ...과 같이 정사각형으로 배열할 수 있는 수들을 사각수라 불렀다. 마찬가지로 오각수, 육각수들을 다루었다. 이와 같은 수의 연구는 별로 가치가 있는 것은 아니지만 뒤에 정수론 연구에 큰 영향을 주었다.
기하학
이집트에서는 3, 4, 5를 메소포타미아에선 5, 12, 13을 세 변의 길이로 하는 삼각형을 이용하여 직을 그렸는데, 이집트와 메소포타미아에 유학한 피타고라스는 3²+4²=5², 5²+12²=13²에 착안한 것 같다.
"직각삼각형에서 빗변의 길이의 제곱은 다른 두 변의 길이의 제곱의 합과 같다."
이것이 유명한 피타고라스의 정리인데 그는 다음 그림에서 보는 것과 같이 정사각형을 분할하는 방법을 써서 이 정리를 증명한 것으로 알려져 있다.

이 정리와 관련하여 a²+b²=c²을 만족하는 세 자연수 a, b, c를 피타고라스의 수라고 부르는데, 피타고라스는 공식 (2m)²+(m²-1)²=(m²+1)²을 이용하여 피타고라스의 수가 무수히 많이 존재한다는 것을 증명하였다. 피타고라스의 정리 이외에도 이 학파의 도형에 관한 연구는 많은데, 그 중 하나는 한 변의 길이를 알 때 정오각형을 작도하는 방법이다.이 정오각형으로 부터 황금분할을 발견하였는데, 이 황금분할은 예로부터 주어진 선분을 두 부분으로 가르는 가장 아름다운 분할법이라 생각되어 회화, 조각, 건축 등에 널리 이용되고 있다. 피타고라스 학파는 타일 깔기 문제도 해결하였다. 그것은 같은 모양과 크기의 장다각형의 타일을 한 점 주위에 몇 개씩 모아 평면을 빈틈없이 채울 수 있는 것은 정삼각형, 정사각형, 정육각형 중 어느 한 가지 타일을 쓸 때에 한한다는 것이다.
또, 피타고라스 학파는 정다면체에 관하여도 연구했다. 이집트인들은 정사면체, 정육면체, 정팔면체라는 세 가지 정 다면체만을 알고 있었으나, 피타고라스 학파는 다시 정 12면체와 정 20면체를 발견하였고, 정다면체는 이들 다섯 종류밖에 존재하지 않음을 증명하였다.
무리수
피타고라스 학파는 적어도 한 무리수를 알고 있었다. 이집트, 메소포타미아, 그리스에서 당시에 알고 있던 수는 자연수와 분수뿐이었는데, 피타고라스 학파는 변의 길이 1인 정사각형의 대각선의 길이 제곱근 2가 분수로 나타날 수 없음을 증명하였다. 정수와 분수는 두 정수 P와 q의 비(ratio) p/q꼴로 나타낼 수 있는 수이다. 따라서, 정수와 분수를 총칭하여 비가 되는 수라는 뜻에서 rational number라 부른다. 이 말을 두고 서양헤서는 수에 이성이 있느냐는 농담을 한다. 또 제곱근 2와 같이 정수의 비로 표현할 수 없는 수를 비가 되지 않는 수라는 뜻에서 irrational number라 부른다. 이들은 오늘날 동양에서는 각각 유리수, 무리수라 번역되고 있다. 이 역어도 서양에서와 마찬가지로 농담의 대상이 된다. 차라리 처음부터 유비수(有比數), 무비수(無比數)라 부를 수도 있었을 것이다.
(1998년 4월 28일 하창호)