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완 전 수

피타고라스 학파 사람들(기원전 6세기의 수학자 파타고라스의 추종자들)이 발견한 것처럼, 수 6은 매우 특별한 성질을 갖고 있다. 그것은 자신을 제외한 약수들의 합과 같다
6=1+2+3
6 다음으로 이러한 성질을 갖는 수는 28이다. 28의 약수는 1, 2, 4, 7, 14와 그 자신인 28이다. 그리고
28=1+2+4+7+14
가 성립한다. 이와 같은 수를 피타고라스 학파 사람들은 완전수(perfect number)라고 이름을 붙였다.
그리스의 수학자 니코마코스(Nicomachus)는 기원수 1세기에 저술한 책 산학의 연구(Introductio Arithmeticae)에서 완전수로 알려진 네 개의 수를 나열했다. (6과 28뒤의) 셋 째 완전수는 496이고 그 다음은 8128이다. 이 증거에 의해 두 가지의 추측이 뒤따랐다. 하나의 추측은 n째 완전수는 n자리라는 것이었고 완전수들은 6과 8로 번갈아 끝난다는 것이 또 다른 추측이었다. 완전수 중에는 다섯 자리의 완전수는 없다. 또한 다섯째 완전수 33,550,336은 6으로 끝나지만 여섯째 완전수 8,589,869,056도 역시 6으로 끝난다. 유클리드는 그의 원론 제 Ⅳ권에서, 만약에 이 소수이면 은 완전수라는 사실을 기원전 350-300년경에 증명했다. 2천년 뒤에 오일러는 짝수인 모든 완전수는 이런 꼴임을 보였다. 따라서 메르센 소수와 완전수 사이의 밀접한 관계가 증명되었으며 이것은 현재 정확하게 30개의 짝수인 완전수가 알려지고 있다는 사실을 보여준다. 사실 홀수인 완전수는 알려진 것이 없으며 모든 완전수가 필연적으로 짝수일 것이라는 추측이 있다. 비록 증명되지는 않았지만 이 추측에 유리한 몇 가지 증거가 있다. 만약 홀수인 완전수가 존재한다면 그 수는 보다 커야만 하며 적어도 11개의 서로 다른 소인자를 가져야 한다. 한편 역사가 지침이 된다면 완전수에 대한 추측을 할 때 신중해야만 한다. 1811년에 바로우(Peter Barlow)는 그의 책 수론(Theory of Numbers)에서 1772년에 오일러에 의해 발견된 19자리의 수인 여덟째 완전수 에 대해서 다음과 같이 썼다. "이 수는 앞으로 발견될 완전수 중에서 가장 큰 완전수이다. 왜냐하면 완전수는 단지 호기심에서 찾은 것이지 유용하지는 않기 때문에 어떤 사람도 이것보다 큰 완전수를 찾으려는 시도조차 안할 것이기 때문이다."
비록 바로우는 완전수가 단순한 호기심을 채우는 가치밖에 없다고 옳게 평가했지만 이번 장의 첫 절에 잘 설명되어 있는 것과 같이 호기심의 매력을 확실히 과소평가했다. 그리고 완전수가 호기심을 매우 유발시킨다는 것은 의심할 여지도 없다. 보기를 들면, 모든 (짝수인) 완전수는 삼각수이다. 이것은 정삼각형을 형성하도록 배열된 공의 개수로 이 수를 표현할 수 있음을 의미한다.(이 수는 적당한 수 n에 대해서 꼴이 된다.) 만약 6이외의 다른 완전수를 취해서 각 자리의 수를 더하면, 그 결과는 9의 배수보다 1만큼 큰 수가 된다는 또 다른 사실이 있다. 이것과 관련된 것으로 임의의 완전수의 자릿수 근(digital root)은 1이라는 사실이 있다. (어떤 수의 자릿수 근을 얻기 위해서는 그 수의 모든 자리의 숫자를 더한 다음에 그와 같이 얻어진 수의 모든 자리의 숫자를 다시 더한다. 이와 같이 진행해서 단 단위의 수가 될 때까지 계속한다.) 또 모든 완전수는 연속적인 홀수의 세제곱의 합이 된다. 보기를 들면 다음과 같다.
,
만약 n이 완전수이면, n의 모든 약수의 역수의 합은 항상 2라는 또 다른 사실이 있다. 보기를 들면 6은 1, 2, 3, 6 등의 약수를 가지는데 이것들의 역수의 합은 다음과 같다.

사실 바로우의 완전수의 무용성에 대한 주장에도 불구하고, 이런 '호기심'을 끄는 수를 찾기 위해 대단히 많은 노력을 했으며, 그러한 계산은 컴퓨터 능력을 측정하는 기준으로서의 지위를 획득했다.
(1998년 4월 16일 하창호)