여러가지 테마

3 대 작도 불능 문제

그리스 인들은 이성적이고 논리적인 사고를 중시했던 사람들이었다. 그들은 실용적인 가치보다도 바른 지식 체계를 중요시했기 때문에 의외로 쉽게 풀 수 있는 문제를 어렵게 푸는 경우도 많았다. 그 대표적인 문제가 기하학의 발달에 큰 영향을 미친 3대 작도 문제가 있다. 이 작도문제는 눈금이 없는 자와 컴퍼스 이외의 기구 사용이 금지되어 있으므로 작도 불가능인 문제도 많다. 2천년 동안 해결하지 못하다가 19세기 이르러서야 작도가 불가능하다는 것이 밝혀졌다.
그리스 인들은 굳이 자와 컴퍼스만으로 작도하는 것을 강조하고 있는데, 그것은 그들이 작도하기 가장 간단한 도형을 성시하고 기술적인 도형(타원, 쌍곡선, 포물선이나 그 외 기계를 사용해서 그릴 수 있는 도형)은 천한 것으로 생각했기 때문이다. 결국 그들은 자로 그을 수 있는 직선과 컴퍼스로 그릴 수 있는 원만을 사용하여 작도하는 전통을 가지게 되었다. 그러한 전통의 시작은 플라톤 때부터였다. 그의 말은 "자와 컴퍼스 이외의 다른 작도 방법은 기하학의 장점을 포기하고 파괴하는 것이다. 그것은 기하학을 영원한 사상의 영상(映像)으로 드높이기는커녕 오히려 이것을 다시 감각의 세계로 끌어내리기 때문이다." 그리스의 대표적인 수학자 피타고라스도 입체도형 중 가장 아름다운 것은 구이고 평면 도형 중 가장 아름다운 것은 원이라고 강조하였다. 그러한 사고의 영향으로 당시의 종교적 상징인 건축물에는 원과 직선이 많이 사용되고 있다. 그러나 자와 컴퍼스만으로 작도해야 한다는 제약은 많은 수학자들을 괴롭혔으며 이 세 가지 문제를 풀기 위한 왕성한 연구는 그리스의 기하학에 깊고 큰 영향을 미쳤다. 또한, 원추곡선(원, 쌍곡선, 포물선 등), 3차곡선, 4차곡선 등 풍부한 발견을 이끌어 냈으며 나중에는 대수적인 부분에까지 영향을 미쳤다. 그러면 그 3가지 문제는 무엇일까?
(1)주어진 정육면체의 2배의 부피를 갖는 정육면체의 한 변의 길이를 작도하는 문제
(2)임의의 각을 삼등분하는 문제
(3)임의의 원과 면적이 같은 정사각형을 작도하는 문제
이제 첫번째 문제에 대하여 알아보자. 정육면체의 부피를 2배로 할 수 있는가에 관한 문제의 발단에 대한 이야기는 2종류가 있다. 하나는 고대 그리스 시인으로부터 비롯되었다는 것이다. 미노스 왕이 그의 아들 글라우쿠스를 위해 세운 묘비의 크기에 불만스러워 했다고 표현한 대사에서 그 문제가 나타났다고 한다. 미노스는 묘비의 크기를 두 배로 하라고 그 시인에게 명령했는데, 이 때 시인은 묘비의 각 변의 길이를 두 배함으로써 묘비를 두 배로 만들 수 있다고 말하였다. 이 잘못된 생각이 기하학자들로 하여금 부피만 두 배로 늘리는 것이 어떻게 가능한가 하는 문제에 빠져들게 하였다.
또 하나의 이야기는 데리안 족이 어떤 병을 퇴치하기 위해서는 아폴로의 정육면체의 제단의 크기를 두 배로 해야만 한다는 신탁을 받았다는 것이다.
그러면 이 문제는 19세기에 어떻게 해결되었을까? 이 문제가 자와 컴퍼스만으로는 풀릴 수 없다는 것은 여러 책에 증명되어 있는데 그 내용 중의 하나는 "유리근을 갖지 않는 3차방정식의 근을 크기로 하는 선분을 작도할 수 없다"는 것이다. 처음 정육면체는 한 모서리의 길이가 1이라면 부피도 1이다. 구하려는 정육면체의 한 모서리의 길이를 x라 하면 x의 세제곱이 2가 되어야 한다. 그런데 세제곱해서 2가 되는 수는 유리수 중에 없으므로 는 유리근을 갖지 않는 3차방정식이다. 따라서 한 모서리의 길이가 x 인 정육면체의 길이는 작도할 수 없는 것이다.
3가지의 작도문제를 연구하면서 얻은 부산물은 작도법의 발달, 히피아스의 곡선, 유선형의 콩코이드(Concoid)곡선, 원추곡선에 대한 연구, 제도 기구의 발명 등이 그것이다. 생각치 않았던 곳에서 쏟아져 나온 이 지식들은 수학의 발달에 큰 도움을 주었다. 그러한 부산물이 아니더라도 우리는 그리스 인들의 사고를 결코 우습다고 무시해서는 안된다. 자와 컴퍼스만을 고집했듯이 실용적인 것보다는 논리적이고 합리적인 지식 체계를 원했던 그들의 노력은 유클리드의 '원론'과 같은 위대한 결과들을 남겼다. 그러한 것들이 당장은 쓸데없어 보이지만 그 기초 위에 더욱 복잡하고 어려운 것들을 쌓아올려 현대 과학 문명을 만들었다는 것을 생각해보면 그들의 고집스런 사고 방식에 고마움을 느끼게 된다.