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무한을
셈한 칸토어
우리가
바라보는 별의 숫자는 얼마나 될까? 또, 바닷가의 모래알의 숫자는 얼마나
될까? 모래알의 숫자는 충분한 시간과 인력이 있다면 셀 수 있을 것이다.
실제로 지금부터 2200여 년 전, 그리스의 수학자 아르키메데스는 전
우주를 모래알로 채우려면 얼마나 많은 모래알이 필요한지를 계산했다고
한다. 지구로부터 우주의 지평선까지는 150억-200억 광년이고 거기까지에는
약 1000억 개의 항성이 있고 항성의 1/3이 태양계와 마찬가지로 행성을
갖고 있다. 그 개수를 평균 10개라고 하면 은하계에는 1조 3천억 개의
행성이 있다고 예측하기 때문에 하늘의 별의 개수는 상상할 수 없을
만큼 많은 '유한'이다. 그러나, 별의 수이든 모래알의 수이든 우리가
다루기 힘든 수임에는 틀림없다.
무한을 세기 위해서는 무한이
무엇인가에 대한 이해가 있어야 한다. 무한의 수학을 창시한 수학자에
대하여 말하기로 한다. 무한의 수학을 창시한 칸토어(G. Cantor, 1845-1918)가 무한에 대한 연구를 발표하기 이전에는 무한은 유한이
아니다라는 정도의 인간이 셈할 수 있는 한계를 초월한다는 의미로나
쓰였다. 이 시절까지도 무한을 분석, 규명하는 것은 수학계의 금기로
여겨지면서 수학은 유한인 경우만 다루고 있었다. 칸토어는 무한의 세계를
파헤치고 이것을 '수학의 언어'로 나타내는 작업에 착수하였다. 인간의
손이 미치지 않았던 '무한'을 새롭게 조명하고, 유한 수를 셈하듯이
무한 수를 셈해 보려고 하였던 것이다. 그는 무한의 문제를 깊이 성찰한
철학자였다. 집합론의 바탕에는 실제로 무한에 관한 그의 사상이 깔려
있다. 무한을 다루는 방법으로 그가 선택한 것은 원소의 개수를 하나
하나 비교하는 아주 간단한 방법이다. 즉 일대일 대응을 이용하여 무한을
셈한 것이다. 칸토어는 '무한의 수학'인 집합론을 29세때인 1894년에
최초로 발표하였다. 그러나 그 논문을 발표하기까지 10년 간이나 스스로도
확신과 회의를 반복하였다고 한다. 스승이였던 바이에르슈트라스(Weierstrass,
1818-1897)와 동료 데데킨트(Dedekind, 1831-1916)는 칸토어에 호의적이었다.
그러나 무한을 셀 수도 있고, 크기도 비교할 수 있다는 당시의 상식으로는
너무도 엉뚱한 생각때문에 세상은 엄청난 비난을 퍼부었고, 결국 칸토어는
그 충격으로 정신병원에 입원하게 된다. 흔히 천재들의 업적이 그러하듯이
칸토어의 업적이 제대로 인정을 받게 된 것은 몇 해가 지난 후였다.
그러나 그로부터 얼마 지나지 않아 그는 독일을 한 시골 정신병원에서
생애를 마쳤다. 너무나 거센 반대와 비난 때문에 정신 이상까지 일으켰지만
그의 수학은 이후 20세기에 모든 수학의 기초를 집합론 위에서 새로
다지도록 만드는 엄청난 영향을 끼치게 된다. 당시 유럽의 사상계를
지배하던 권위적인 견해와 새로운 것을 일단 거부하는 세계에 맞섰던
칸토어는 그의 논문 속에서 '수학의 본질은 자유에 있다.'고 주장하였다.
(1997년
12월 27일 하창호) |