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수학의 특성

수학은 인류의 역사와 더불어 시작되었다고 할 만큼 가장 오래 된 학문에 속한다. 역사적으로 수학은 기원전 2천년경(바빌로니아, 이집트)까지 거슬러 올라간다. 특히, 기원전 5세기부터 3세기까지(그리스)와 17세기경(유럽에서 무한소 계산법의 발생)의 풍요한 발달 시기를 거쳐 20세기 초까지 자연과학 및 공학적인 문제와 밀접하게 결부되어 기하학, 대수학, 해석학의 고전적 분야가 크게 발달하였다. 교육부에서 제공한 수학과 교육과정의 해설에 따르면 수학을 체계적이고 연역적인 과학으로 보는 입장과 구성 도중에 있는 실험적이고 귀납적인 과학으로 보는 입장도 있다. 즉, 정의, 정리, 알고리즘과 그 연역 체계 등을 수학으로 보는가 하면 그러한 수학적 이론을 만들고 수정하는 인간 사고 활동, 즉 수학을 하는 과정을 강조하는 입장도 있다. 그런 이유에서 수학을 특성을 한가지로 설명하기는 불가능하다. '수학이란 무엇인가?'라는 질문에 대하여 여러 학자들이 모두 다양하게 대답하는 것도 그러한 이유 때문이다. 그러나 일반적으로 수학의 특성으로서 실용성, 추상성, 형식성, 계통성, 직관성과 논리성, 일반화와 특수화 등이 거론된다.

(1)실용성
수학은 실용성을 그 특성으로 한다. 원래 수학은 실제 생활의 요구와 자연의 탐구에서 비롯되었다. 비록 그러한 수학이 이론 수학으로 발전하였으며, 현재 응용과는 무관하게 공리로부터 순수하게 수학이 전개되고 있을지라도 수학이 타 학문과 실생활에 모델로 작용하고 있으며, 또 장차 작용할 개연성이 대단히 높다는 것은 부인할 수 없는 사실이다.
(2)추상성
어떤 구체물의 집단이 있을 때, 각 구체물이 가지는 속성 중에서 이질적인 속성을 제거하여 나가면 결국 동질적인 속성만 남게 되는데, 각 구체물이 지니는 이 동질적인 속성을 끄집어 내는 것을 추상화라고 한다. 예를 들어, 성냥갑, 벽돌, 상자 등이 지닌 여러 가지 속성 중에서 이질적인 속성, 즉 각 물체의 색깔이나 각 물체를 구성하고 있는 물질, 크기 등을 생각하지 않고 동질적인 속성, 곧 공통된 성질만을 생각하면 직육면체의 개념을 얻게 된다. 이와 같이 직육면체는 구체적인 물리적 대상에서 추상화가 이루어진 것이다. 수학에서 다루는 추상성이란 우리가 느끼고, 맛보고, 냄새맡고, 듣고, 볼 수 있는 물리적 세계나 그 세계에 대한 우리의 경험을 직접 다루는 것이 아니라, 우리 마음 속에 있는 아이디어를 다루는 것이다.
(3)형식성
수학은 형식성이 강한 학문이다. 곧, 수학은 형식 언어로 쓰여진 공리를 바탕으로 하여 형식적인 추론 규칙에 의해 전개될 수 있는바, 이 때 공리나 기호의 의미는 중요하지 않다. 수학의 형식성은 수학적 증명의 엄밀성과 수학 체계의 무모순성을 보장하기 위한 장치로서, 19세기 말 독일의 힐베르트에 의해 더욱 명확하게 제시되었다. 그러나 형식화된 수학과 무의미한 기계적 조작은 구별된다. 무의미한 기계적 조작은 수학이 아니지만 의미와 무관해 보이는 형식화된 수학은 필요하다면 언제든지 의미가 부여될 수 있기 때문이다.
(4)계통성
수학적 개념의 성장은 어떤 기초적인 내용을 기반으로 하여 그 기반 위에 다른 내용을 더 첨가함으로써 기초적인 내용과 새로운 내용을 일관성 있게 이어 나가면서 이루어진다. 이러한 성장 과정을 거친다는 의미에서 수학은 계통적이라 할 수 있다. 계통성은 수학 교육 과정의 구성에 핵심적인 역할을 한다. 즉, 계통성은 학습 내용의 순서를 정할 때 논리적 연결성을 가지고 학습이 단계적으로 이루어지도록 해 주는 것이다. 잘 알려진 대로 자연수, 정수, 유리수, 실수로의 확장은 바로 이러한 계통성의 전형적인 예라고 할 수 있다.
(5)직관성과 논리성
유클리드의 기하와 같이 수학은 엄밀한 논리적 구조로 이루어져 있다. 즉, 분석적이고 단계적으로 전제나 선행 명제로부터 결론이나 후속 명제나 정당하게 이끌어 내어지고 있는 것이다. 따라서, 수학자들은 아직 부정되지는 않았지만 페르마의 정리나 골드바하의 추측 등과 같이 전제로부터 논리적으로 정당화하지 못한 것을 수학적 영역으로 도입하기를 꺼리는 실정이다. 그러나 논리적으로 정당화할 대상은 사실상 직관에 의해서 발견, 발명된다. 직관은 사고 대상을 인지하는 활동이 다소 불분명하지만 전체를 감지할 수 있는 사고이며, 이론 전개의 선행, 방향, 기틀을 마련해 주는 직감적 아이디어로서 이론과 구체를 맺어 주는 것 또는 구체에서 논리의 방향을 시사해 주는 것이다. 따라서, 직관적 사고는 수학의 발명 또는 발견에 중요한 역할을 하며, 논리적 사고는 발명 또는 발견된 수학의 정리에 정당성을 부여하는 데 필수적이다.
(6)일반화와 특수화
일반화는 하나의 대상에 대한 고찰로부터 그 대상을 포함한 집합에 대한 고찰로 옮겨가는 것을 말한다. 예를 들면, 삼각형에 대한 고찰로부터 임의의 다각형에 대한 고찰로 나아가거나 예각의 삼각비에 대한 연구로부터 임의 각의 삼각함수에 대한 연구로 나아가는 것 등이 일반화이다. 이러한 일반화를 통하여 수학이나 과학에서 많은 법칙을 발견하였다. 0이 아닌 실수의 0제곱의 값이 1이된다는 것도 일반화를 가능하게 하기 위해 도입된 것이다. 때로는 단 한가지 사실을 관찰하고도 일반화를 통하여 놀라운 일반적인 법칙을 발견하기도 한다. 일반화와 반대되는 개념이 특수화이다. 특수화는 주어진 대상의 집합에 대한 고찰로부터 그 집합에 포함되는 더 작은 집합 또는 단 하나의 대상에 대한 고찰로 옮아가는 것이다. 이러한 특수화는 일반화된 명제를 검증하거나 그 증명 또는 풀이의 힌트를 제공하기도 한다.
(1997년 12월 25일)